В Л₂ дана прямая (обыкновенная) XY и требуется построить отражение любой точки А от этой прямой (рис. 23). Пусть Р будет полюс прямой XY; К – точка пересечения АР с XY. При отражении от оси XY точка А перейдет в некоторую точку В луча КР, составляющего продолжение луча КА.

Пусть А₁ будет другая точка встречи прямой XA с абсолютом. При отражении от прямой XY точка А₁ перейдет во вторую точку А₂ пересечения прямой РА₁ с абсолютом. Прямая XA₁ перейдет в прямую XA₂ а так как прямая PA остается инвариантной, то точка A перейдет в точку B пересечения прямых XA₂ и PA. Точка K пересечения оси XY с прямой РА будет серединой (гиперболической) отрезка АВ.

Возвращаясь к уже решенной задаче, предположим, что даны точки A и К; на продолжении прямой АК требуется построить точку В таким образом, чтобы КВ=КА. Проводим через К прямую XY перпендикулярную к AK (для этого соединяем точку К с полюсом О прямой АК), и тогда выполняем указанное выше построение, т. е. строим отражение В точки А от прямой XY. Этим также восполняется построение, изложенное в п.6.2.